DEFINICIÓN

El álgebra es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo mas general posible. El concepto de la cantidad en álgebra es mucho más amplio que en Aritmética.

La palabra «álgebra» proviene del vocablo árabe الجبر al-ŷabar (en árabe dialectal por asimilación progresiva se pronunciaba [alŷɛbɾ] de donde derivan los términos de las lenguas europeas), que se traduce como 'restauración' o 'reponimiento, reintegración'. Deriva del tratado escrito alrededor del año 820 d.C. por el matemático y astrónomo persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi (conocido como Al Juarismi), titulado Al-kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷarabi waˀl-muqābala (Compendio de cálculo por reintegración y comparación), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Muchos de sus métodos derivan del desarrollo de la matemática en el islam medieval, destacando la independencia del álgebra como una disciplina matemática independiente de la geometría y de la aritmética. Puede considerarse al álgebra como el arte de hacer cálculos del mismo modo que en aritmética, pero con objetos matemáticos no-numéricos.

tomado de: http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra

En Aritmética las cantidades se representan por números y estos expresan valores determinados, asi, 20 expresa un solo valor: veinte; para expresar un valor mayor o menor que éste habrá que escribir un número distinto de 20.
En Álgebra para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores así: a representa el valor que nosotros le asignemos y por tanto puede representar 20 o mas de 20 o menos de 20, a nuestra elección, aunque conviene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor determinado, esa letra no puede representar, en el mismo problema otro valor distinto del que le hemos asignado.
Los signos empleados en álgebra son de tres clases: signos de operación, signos de relación y signos de agrupación